● 「整数」と「複素数」の関係

 「整数」と「虚数」は1次元の数直線上の数ですが、その関係は90°傾いて直交し、原点の交差点のみを共有しています。
 この2つの数を使って「2次元」の「平面上」の点を表わしたのが「複素数」です。

 では、「複素平面」を紙に書いてみてください。どうしますか?
 縦軸横軸を直交させて交差点に「0」と書き込んで縦軸横軸にメモリを書いて、横軸は右が「+」、左が「-」。
 縦軸は上が「+」、下が「−」、虚数記号の「i」を忘れずに書いてください。

手帳に描いた「複素平面」の図

 ところで、目盛りはどう書きましたか?
 等間隔で刻むのは当たり前ですが、1は何ミリですか?
 誰にも相談せずに決めたと思いますが、1つだけ誰でも同じようにしたことがあります。
 それは、必ず「原点」のとなりに「1」を刻んで、「0」と「1」の間の間隔を「1」と決めて、等間隔に「2」以降の目盛りを刻んでいくということです。
 いくつまで目盛りを付けるかは自由に決めたことでしょう。
 それが「数学」です。
 
 特に問題はないようにも思えますが、数学の概念の問題として1点、数学の概念を超えて勝手にやってしまったことがあります。
 それは、「0」の概念をもたない数学において、「複素平面」を描くために、数学の概念にはない、「原点0」を作り、「自然数1」を「原点0」から「1」までの間の数ミリの長さと定義したということです。
 
 人間が考えた「虚数」という想像上の数字を使って、「複素数」を考えるためのフィールドとして考えられた「複素平面」自体が、数学の概念の超えて、「自然数1」を定義したために見える化したものであることが分かります。

 ここで重要なことは、「原点0」と「1」との間の長さを「1」としたことです。
 これは、「自然数」の概念には無い新概念ですが、横軸はいつの間にか、「自然数」に「0」の概念を導入し、マイナスも加えた「整数」になっていることが分かります。
 だから、「複素平面」に刻まれている数字は「自然数」ではなく「整数」なのです。

 さて、すべての「複素数」は、この「複素平面」上に置かれた物理的な1点として表わすことができます。
 そして、「原点0」を始点として、その点までの矢印を描いてベクトルで表わすことができます。
 「大きさ」と「方向」をもった「ベクトル量」として数学の爼上に載せて、数学的に取り扱うこともできます。

 そう考えれば、すべての「素数点」もこの「複素平面」上の1点として、ベクトルで考えることもできいるわけです。
 しかし、先に、無意識に「自然数1」を定義しているので、横軸上に刻まれている「自然数」は、この横軸(実軸)の線上から離れて、「複素平面」上の点になることはできなくなっています。

 なぜなら、「自然数1」を「原点0」から「1」までの長さと、無意識でも定義してしまったからです。
 これによって、横軸に刻まれる「自然数」の目盛りは、「自然数1」の長さを決めると一義的に決定され、1の長さをいくつに取るかで、フラクタル性をもっていることも分かります。