[mathjax]  「自然数」は「1」から始まる「正」の「整数」と定義されていて、数学的には「0」の概念をもたない数ということはよく知られています。
 しかし、「素数」がその「自然数」の中に定義されている数であることはあまりよく理解されていないようです。

 だから、リーマンのように勘違いで、「複素平面にもち込んで証明できない」ということで、150年もの間未解決の問題が遺されました。

 「リーマン予想」の「実部1/2」というのは、「ガウス平面」とも呼ばれる「2次元の複素平面」上のお話。「複素数」は、原点を始点とし、「大きさ」と「方向」をもった「ベクトル量」で、「0」も「1」も未だに定義されていない「自然数」は、「複素平面」の「横軸」にも入れない「スカラー量」です。

 リーマンは、「素数」を決められた範囲の中に出現する確率から「素数配置」の「法則性」を解明しようとしました。「1次元」の「自然数」を、「2次元」の「複素平面」にもち込む手続きをせずに、「同じ次元の数字」として考えたところに、未解決の原因があったと考えることができます。

 今回は、「数の次元」から「リーマン予想」について考えてみたいと思います。

■菅野正人

「素数の出現確率」と「リーマン予想」

 「素数配置の法則性」を数学的に証明しようと考えたリーマンは、決められた範囲の中にある「素数の数」に一定の法則性を感じました。
 そこで、「整数論」の「ゼータ関数」を使って、「素数」を「複素平面」に持ち込み、「素数点」を表わす「複素数」の解の実部に、「1/2」という「定数」の存在を予想しました。

 この予想が、「リーマン予想」と呼ばれ、150年以上も証明されていない数学未解決問題になっていることは、ときどき、テレビやマスコミなどでも取り上げられるのでご存知の方も多いと思います。

  ところで、「素数」と言うのはどんな数でしょうか。
 学校教育では、小学生の教科書で登場します。
 
「自然数」の中で、「1」と「自分自身でしか割り切れない数」という定義で、「2、3,5,7,11,13・・・,」となります。
 「7」と「11」の間が空いていますが、これは、「9」が「3」で割り切れるため、奇数の中で最初に「素数」と言う名前をもらえなくなって「素数列」から外れたためです。

 「偶数」は、最初の偶数「2」のために、「2」以外のすべての偶数は「素数」という名前をもらえないので、「2」が唯一の「偶数素数」であることはご存知の方も多いことでしょう。

 この「素数列」の並び方が気まぐれで、曖昧で、神出鬼没と言って神秘化する元になったのが、「ゼータ関数」で「素数」の出現確率を予想した「リーマン予想」です。

 確率が予想できるとなれば、ギャンブルには夢の数学になって、神秘の証明を期待する気持ちも湧き、それが数学を専攻する動機になったなどという数学関係者もあると思います。
 しかし、「9」が「素数列」から外れていったのは、「3」という「約数」をもっているためであって、曖昧でも気まぐれでも神出鬼没でもないことは分かると思います。

 「3」に着目すれば、「3」の「偶数倍」の数は「偶数」なので、「素数」ではありません。

 また、「9」のような「3」の「奇数倍」の数は、「3」で割り切れるため「素数」にはなれないので、「素数列」から外れていきますが、「3」の「偶数倍」の数は「偶数」でも、その前後の数は「奇数」なので、「3」で割り切れないので、「素数」として残る可能性があります。

 「3」の「偶数倍」の数は、「6」の「倍数」なので、「2,3」まで考えただけで、残りの「素数」が「6n±1」の2本の数列の中にしか存在できないことが証明できます。

 さらに、「自然数」に「0」の概念を導入して、「0」と「1」の間を「自然数1」と置けば、すべての「素数」が見える化して、「曖昧」や「気まぐれ」な要素が存在しないことは、「ビッグバン宇宙の菅数論」で証明されています。
 
ビッグバン宇宙の菅数論 「素数」誕生のメカニズム